已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0.
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.

(Ⅰ)∵f'(x)=3x2+2ax,而曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0
∴f'(2)=0…(4分)
∴3×4+4a=0∴a=-3…(6分)
(Ⅱ)f(x)=x3-3x2+2,f'(x)=3x2-6x
令f'(x)=0得x1=0,x2=2…(9分)
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表

x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -2 2 -2 2
…(11分)
从上表可知,最大值是2,最小值是-2.…(12分)