已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
问题描述:
已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0.
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
答
…(11分)
从上表可知,最大值是2,最小值是-2.…(12分)
(Ⅰ)∵f'(x)=3x2+2ax,而曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0
∴f'(2)=0…(4分)
∴3×4+4a=0∴a=-3…(6分)
(Ⅱ)f(x)=x3-3x2+2,f'(x)=3x2-6x
令f'(x)=0得x1=0,x2=2…(9分)
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表
x | -1 | (-1,0) | 0 | (0,2) | 2 | (2,3) | 3 |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
f(x) | -2 | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | 2 |
从上表可知,最大值是2,最小值是-2.…(12分)