已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为2π3,则此椭圆的离心率是(  ) A.277 B.255 C.22 D.32

问题描述:

已知F是椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点P,使得直线PF与圆x2+y2=b2相切,当直线PF的倾斜角为
3
,则此椭圆的离心率是(  )
A.
2
7
7

B.
2
5
5

C.
2
2

D.
3
2

设椭圆的左焦点为(-c,0),c=

a2-b2

∵直线PF的倾斜角为
3

则直线PF的方程为
3
x+y+
3
c=0

∵直线PF为圆O:x2+y2=b2的一条切线
|
3
c|
2
=b
,即b=
3
2
c

a2=b2+c2=
7
4
c2

e=
c
a
=
2
7
7

故选A.