若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．（Ⅰ）判断函数f(x)＝x是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；（Ⅱ）若函数f(x)＝x+t为“优美函数”，求实数t的取值范围．
问题描述：
若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．
（Ⅰ）判断函数f(x)＝
是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；
x
（Ⅱ）若函数f(x)＝
+t为“优美函数”，求实数t的取值范围．
x
答
（Ⅰ）由于函数f(x)=
是增函数，则得
x
，
=a
a
=b
b
因为a<b，所以
；
a=0 b=1
（Ⅱ）由于函数f(x)=
+t为“优美函数”，则得方程
x
+t=x有两实根，
x
设
=m (m≥0)，所以关于m的方程m+t=m2即t=m2-m在[0，+∞）有两实根，
x
即函数y=t与函数y=(m-
)2-1 2
的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，1 4
∴-
<t≤0．1 4
答案解析：（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数f(x)＝
在区间[a，b]的值域是[a，b]，又由函数的单调性，得到
x
，解出a与b即可；
＝a
a
＝b
b
（2）由题意知，函数f(x)＝
+t为“优美函数”，等价于方程
x
+t＝x有两实根，进而得到参数t的范围．
x
考试点：函数的值域．
知识点：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．