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对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求

分类: 作业答案 • 2023-01-10 11:16:28
问题描述：

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

3
4
x+
1
x
（x>0）是否为闭函数？并说明理由．

答

（1）由题意，函数y=-x3是R上的减函数，若满足x∈[a，b]⊆R，且f（x）的值域为[a，b]；则f（a）=-a3，f（b）=-b3；
∴

b=-a3
a=-b3
，且b>a；解得
a=-1
b=1
，
所以，所求的区间为[-1，1]．
（2）∵当x>0时，f（x）=
3
4
x+
1
x
≥2
3
4
x•
1
x
=
3
，当且仅当
3
4
x=
1
x
，即x=
2
3
时“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函数或减函数；
所以，函数f（x）不是（0，+∞）上的闭函数．

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