设函数f(x)＝1/xlnx(x＞0且x≠1) （1）若f'（x0）=0，求x0的值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）已知21/x＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
设函数f(x)＝
(x＞0且x≠1)1 xlnx
（1）若f'（x0）=0，求x0的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）已知2
＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围． 1 x
答
（1）f′（x）=-
，f'（x0）=0，即lnx+1
x2ln2x
=0，lnx0+1
x02ln2x0
所以lnx0+1=0，解得x0＝
；1 e
（2）f′（x）=-
，lnx+1
x2ln2x
令f′（x）＞0，得0＜x＜
，f（x）递增；令f′（x）＜0，得x＞1 e
且x≠1，1 e
所以函数f（x）的增区间为（0，
），减区间为（1 e
，1），（1，+∞）；1 e
（3）在2
＞xa两边取对数，得1 x
ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以1 x
＞a ln2
（1），1 xlnx
由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，f（x）≤f（
）=-e，1 e
为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当
＞-e，即a＞-eln2．a ln2