已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak3,…,akn,…恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=171)求kn;2)求数列{kn}的前n项和Tn.
问题描述：
已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak3,…,akn,…恰为等比数列,
其中k1=1,k2=5,k3=17
1)求kn;
2)求数列{kn}的前n项和Tn.
答
你好，你要的答案是：
根据题意：a1、a5、a17成等比数列
即a5^2=a1*a17
（a1+4d）^2=a1*（a1+16d）
整理得：a1^2+8a1*d+16d^2=a1^2+16a1*d
即：2d=a1
所以a1=2d
a5=6d
a17=18d
所以aKn=2d*3^（n-1）为数列{akn}的通项公式
设其n项和为Sn
Sn=2*3^0+2*3^1+2*3^2+……+2*3^(n-1)-n
3Sn=2*3^1+2*3^2+2*3^3+……+2*3^(n-1)+2*3^n-3n
错位相减：
-2Sn=2+2n-2*3^n
Sn=3^n-n-1
答
1)由已知得(a5)^2=a1(a17)得(a1+4d)^2=a1(a1+16d)化简得a1=2d
所以a1=2d,a5=6d,a17=18d,这个等比数列公比为3
所以akn=2d·3^(n-1)而akn是等差数列的第kn项,所以得
2d·3^(n-1)=2d+(kn-1)d得kn=2·3^(n-1)-1
2)Tn=2·3^0-1+2·3^1-1+2·3^2-1+……+2·3^(n-1)-1
=2·3^0+2·3^1+2·3^2+……+2·3^(n-1)-n
3Tn=2·3^1+2·3^2+2·3^3+……+2·3^(n-1)+2·3^n-3n
两式相减得2Tn=2·3^n-2n-2
故得Tn=3^n-n-1