已知平行四边形ABCD，AC、BD为对角线，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
问题描述：
已知平行四边形ABCD，AC、BD为对角线，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
答
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∠AEB＝∠DFC ∠ABE＝∠DCF AB＝DC
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
∴AC2+BD2=2（AB2+BC2）．