数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求limn→∞(a1+a3+…+a2n-1)的值.

问题描述:

数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求

lim
n→∞
(a1+a3+…+a2n-1)的值.

由Sn=a1+a2++an
an=Sn-Sn-1(n≥2),
a1=S1
由已知an=5Sn-3得
an-1=5Sn-1-3.
于是an-an-1
=5(Sn-Sn-1
=5an
所以an=-

1
4
an-1
由a1=5S1-3,
得a1=
3
4

所以,数列{an}是首项a1=
3
4
,公比q=-
1
4
的等比数列.
由此知数列a1,a3,a5,,a2n-1
是首项为a1=
3
4
,公比为(−
1
4
)2
的等比数列.
lim
n→∞
(a1+a3+a5++a2n-1)=
3
4
1−(−
1
4
)
2
4
5