数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求limn→∞(a1+a3+…+a2n-1)的值.
问题描述:
数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求
(a1+a3+…+a2n-1)的值. lim n→∞
答
由Sn=a1+a2++an知
an=Sn-Sn-1(n≥2),
a1=S1,
由已知an=5Sn-3得
an-1=5Sn-1-3.
于是an-an-1
=5(Sn-Sn-1)
=5an,
所以an=-
an-1.1 4
由a1=5S1-3,
得a1=
.3 4
所以,数列{an}是首项a1=
,公比q=-3 4
的等比数列.1 4
由此知数列a1,a3,a5,,a2n-1,
是首项为a1=
,公比为(−3 4
)2的等比数列.1 4
∴
(a1+a3+a5++a2n-1)=lim n→∞
=
3 4 1−(−
)2
1 4
.4 5