三角形四心向量形式的充要条件证明

因为不好打向量头上的箭头,所以OA表示向量OA,与AO是不同的
1.重心 （三角形三边中线交点）
充要条件：在△ABC中,O是△ABC的重心OA+OB+OC=0 （这里0是指0向量）
证明：
==>
若O是△ABC的重心
设AD,BE,CF分别为三角形三边的中线,则O为这三条中线的交点.
所以S△ABE=S三角形ABD,所以S△AOE=S△BOD.
又因为S△AOE=S△COE,S△BOD=S△COD,
所以S△COD=1/3*S△ADC,所以|OD|=1/3 |AD| （这里| |表示长度）
所以|OA|=2/3 |AD|,所以OA=2/3 DA （这里表示向量）
同理可得OB=2/3 EB OC=2/3 FC
所以OA+OB+OC=2/3（DA+EB+FC）
=2/3（DB+BA+EC+CB+FA+AC）
=2/3（DB+EC+FA）
=1/3（CB+AC+BA）
=0 #
若O是△ABC的垂心,
设AD,BE,CF分别为三角形三边的高线,则O为这三条中线的交点.
所以OA*OB=OA*（OD+DB）=OA*OD
和 OA*OB=（OE+EA）*OB=OE**OB
同理OB*OC=OB*OE=OF*OC OC*OA=OC*OF=OD*OA
所以OA*OB=OB*OC=OC*OA.#
若O是△ABC的外心,则O点为三角形三边中垂线交点,
所以|OA|=|OB|=|OC|.（由中垂线定义可得）#
若O是△ABC的内心,则O点为三角形三边中垂线交点,
所以∠BAO=∠CAO,
又因为S△ABO=1/2*|AO|*|AB|*sin∠BAO=1/2*AO*AB*cos∠BAO,
S△ACO=1/2*|AO|*|AC|*sin∠CAO=1/2*AO*AC*cos∠CAO,
所以AO*AB/|AB|=|AO|*tan∠BAO,AO*AC/|AC|=|AO|*tan∠CAO
所以AO*AB/|AB|-AO*AC/|AC|=AO*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0
所以OA*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0,
同理可得OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=0和OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0
所以OA*（AB/|AB|-AC/|AC|）= OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0.#