如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF=FD； （3）若EF=4，DE=3，求AD的长．
问题描述：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．
答
（1）证明：连接OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH（1分）
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC（2分）
∴
＝BF
，FC
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC（3分）
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2（4分）
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3（5分）
∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，
∴∠BDF=∠FBD，
∴BF=FD（6分）
（3）在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB（7分）
∴
═BF AF
，（8分）FE FB
∴BF2=FE•FA
∴FA＝
（9分），EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，BF2
FE
∴FA＝
＝72 4
49 4
∴AD=AF-DF=AF-（DE+EF）=
−7=49 4
（10分）21 4