已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）． （I）证明数列{an+an+1}是等比数列； （II）求a1+a2+…an（n∈N*）
问题描述：
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；
（II）求a1+a2+…an（n∈N*）
答
（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以
=3是常数，
an+1+an
an+an−1
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即
=-1，常数，
an+1−3an
an−3an−1
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=
•3n−1 4
•(−1)n，1 4
∴a1+a2+…an=
（31+32+33+…+3n）-1 4
[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]1 4
=
[3n+1+(−1)n+1−2] （n∈N*）．1 8