如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x． （1）当PQ∥AD时，求x的值； （2）当线段PQ的垂直平分线与BC边
问题描述：
如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．
答
（1）当PQ∥AD时，则
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=
CD=1 2
×8=4，1 2
∴x=4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．
∴（8-x）2+y2=（6-y）2+x2，
∴y=
．4x-7 3
∵0≤y≤6，
∴0≤
≤6，4x-7 3
∴
≤x≤7 4
．25 4
（3）S△BPE=
•BE•BP=1 2
•1 2
•（8-x）=4x-7 3
，-4x2+39x-56 6
S△ECQ=
•CE•CQ=1 2
•（6-1 2
）•x=4x-7 3
，-4x2+25x 6
∵AP=CQ，
∴SBPQC=
S矩形ABCD=24，1 2
∴S=SBPQC-S△BPE-S△ECQ=24-
--4x2+39x-56 6
，-4x2+25x 6
整理得：S=
=4x2-32x+100 3
（x-4）2+12（4 3
≤x≤7 4
），25 4
∴当x=4时，S有最小值12，
当x=
或x=7 4
时，S有最大值25 4
．75 4
∴12≤S≤
．75 4