设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：∯Σx2yz2dydz-xy2z2dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0）

分类: 作业答案 • 2022-03-22 20:31:49

问题描述：

设空间闭区域Ω由曲面z=a²-x²-y²与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：

∯

x²yz²dydz-xy²z²dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0）

答

证明：由高斯公式，有左边积分=∭Ω(2xyz2−2xyz2+1+2xyz)dxdydz＝V+2∭Ωxyzdxdydz ∵∭Ωxyzdxdydz＝∫2π0sinθcosθdθ∫a0r3dr∫a2−r20zdz＝12sin2θ|2π0⋅∫a0r3dr∫a2−r20zdz＝0 ∴...