设x>-1,求函数y=(x^2+7x+10)/(x+1)的最值?若x、y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值?
问题描述：
设x>-1,求函数y=(x^2+7x+10)/(x+1)的最值?若x、y是正数,则(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值?
答
这是必修五的内容。
1、设x＋1=t，则y=(t²＋5t＋4)/t=t＋4/t＋5，t满足基本不等式条件，y≥9；
2、展开=(x²＋1/4x²)＋(x/y＋y/x)＋(y²＋1/4y²)≥4，等号成立的条件是x²=y²=1/2。
答
（1）y=(x²+7x+10)/(x+1)=[(x+1)²+5(x+1)+4]/(x+1)=(x+1)+4/(x+1)+5≥9
（2）(x+1/2y)²+(y+1/2x)²
=(x²+y²)+(x/y+y/x)+(1/4x²+1/4y²)
≥2xy+2+1/2xy =（2xy+1/2xy）+2≥2+2=4
答
(x^2+7x+10)/(x+1)=5+(x+1)+[4/(x+1)]≥5+2√[(x+1)*4/(x+1)]=9最小值9(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2=x^2+(1/4x^2)+(x/y)+(y/x)+y^2+(1/4y^2)≥2*[x*1/2x]+2√[(x/y)*(y/x)]+2*[y*1/2y]=4最小值4
答
x+1=k
y=k+5+4/k>=9
加上x+y=a
9a/8