完全没思路的一道高中数学题
完全没思路的一道高中数学题
{An}满足A1=-1,An（n=2,3,……）是非0整数,且对任意正整数m和自然数k都有-1≤Am+A（m+1）+A（m+2）……+A（m+k）≤1
（1）求证对于任意的m∈N*,都有|Am|=1
（2）求{An}
其实我不想把分给你们的.因为不完全归纳什么问题也说明不了.比如A1=1,A2=2,A3=3……就能说明An=n么?同理,A1=-1,A2=1,A3=-1,A4=1……那么就说明An=（-1）^n么?如果这是选择填空题,那么你们就对了.如果这是解答题,那么第二问就都是0分.
（1） 很简单
因为An（n=2,3,……）是非0整数,假设存在s∈N,|As|≠1
则必有|As|>1,此时令m=s,k=0,可得
Am+A（m+1）+A（m+2）……+A（m+k）=As
而|As|>1,这与 对任意正整数m和自然数k都有-1≤Am+A（m+1）+A（m+2）……+A（m+k）≤1 矛盾,因此
对于任意的m∈N*,都有|Am|=1
（2） 利用第一问的结果.
令m=1,k=1,-1≤A1+A2≤1
而|A2|=1,又A1=-1 ,因此得到A2=1.
再令m=2,k=1,-1≤A2+A3≤1
而|A3|=1,又A2=1 ,因此得到A3=-1.
.依次下去,可知此数列-1 与1交错出现（此结论可以用数学归纳法发证明,就是类似上面的步骤）
所以通项公式为 An=(-1)^n
好吧第二问我给出严格的证明过程：
对于任意自然数m,令k=1,必有-1≤Am+A(m+1)≤1
已经证明 对于任意的i∈N*,都有|Ai|=1,所以
Am=1或Am=-1 ,A(m+1)=1或A(m+1)=-1
Am+A(m+1)只有四种可能
Am+A(m+1)=1+1=2 --------------------(1)
Am+A(m+1)=(-1)+(-1)=-2 --------------(2)
Am+A(m+1)=1+(-1)=0 ----------------(3)
Am+A(m+1)=(-1)+1=0 -----------------(4)
前两种情况都不满足 -1≤Am+A(m+1)≤1
而后两种情况Am+A(m+1)是一个结果
所以必然有 Am+A(m+1)=0
A(m+1)=-Am
故 A(m+1)/Am=-1
因此,{An}是一个等比数列,公比为-1.而A1=-1
所以通项公式为 An=(-1)^n