求函数y=-cos²x+根号3倍cosx+5/4的最大值及最小值,并写出X取何值时函数有最大值和最小值如题.
问题描述：
求函数y=-cos²x+根号3倍cosx+5/4的最大值及最小值,并写出X取何值时函数有最大值和最小值
如题.
答
y=-cos²x+√3cosx+5/4=-(cosx-√3/2)²+2
因为cosx∈[-1,1]，所以最小值为9/5-√3，此时，x=2kπ-π；
最大值为2，此时，x=2kπ±π/6
答
y=-cos²x+√3cosx+5/4
=-(cosx-√3/2)²+2
设u=cosx,y=-(u-√3/2)²+2,
开口向下,对称轴u=√3/2
函数y在u∈（-∞,√3/2]为增区间,[√3/2,+∞）为减区间
又∵u=cosx∈[-1,1],函数在[-1,√3/2]为增区间,[√3/2,1]减区间
当u=cosx=-1时即x=2kπ+π,k∈Z时,y取得最小值ymin=-1-√3+5/4=-√3+1/4,
当u=cosx=√3/2,即x=2kπ±π/6,k∈Z时,y取得极大值也是最大值ymax=2