已知a1＝2,点(an,an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上,其中n＝1,2,3,….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an),求Tn及数列{an}的通项．
问题描述：
已知a1＝2,点(an,an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上,其中n＝1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an),求Tn及数列{an}的通项．
答
(1)由已知an＋1＝a2n＋2an,
∴an＋1＋1＝(an＋1)2.
∵a1＝2,∴an＋1＞1,两边取对数得：
lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an),
即lg(1＋an＋1)lg(1＋an)＝2
∴{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列．
(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1•lg(1＋a1)
＝2n－1•lg3＝lg32n－1
∴1＋an＝32n－1.(*)
∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)
＝320•321•322•…•32n－1
＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.
由(*)式得an＝32n－1－1.
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