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若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:53:37
问题描述：

若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是______．

答

由于函数的定义域为（0，+∞），令函数的导数y′=lnx+1=0，求得x=

1
e
．
在（0，
1
e
）上，y′＜0，函数y是减函数，在（
1
e
，+∞）上，y′＞0，函数y是增函数，故当x=
1
e
时，函数取得最小值．
要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即
1
e
•ln
1
e
+a≤0，∴a≤
1
e
，
即实数a的取值范围是(−∞，
1
e
]，
故答案为 (−∞，
1
e
]．
答案解析：利用导数求得当x=
1
e
时，函数取得最小值，再根据函数的最小值小于或等于零，求得实数a的取值范围．
考试点：函数零点的判定定理．
知识点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，函数有零点的条件，属于基础题．

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