求面积 (21 18:10:56)
问题描述：
求面积 (21 18:10:56)
点P式椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.已知点P在x轴上方,F2为椭圆的右焦点,直线PF2的斜率为-4√3,求△PF1F2的面积.
答
设P点坐标(m,n)
a=5,b=8,c=3,离心率e=c/a=3/5,
所以F1坐标(-3,0),F2坐标(3,0),
PF1=a+em=5+3m/5,PF2=a-em=5-3m/5
做PH⊥F1F2于H,由于直线PF2的斜率为-4√3,所以tan∠PF2H=4√3=PH/HF2
由勾股定理|PF2|²=|HF2|²+|PH|²=(4√3|HF2|)²+|HF2|²=49|HF2|²
所以|PF2|=7|HF2|,
因为|HF2|=c-m=3-m,|PF2|=a-em=5-3m/5得：
5-3m/5=7(3-m),解得m=2.5,
所以|PH|=4√3|HF2|=4√3(3-m)=2√3
△PF1F2的面积S=|PH||F1F2|/2=2√3*6/2=6√3