已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,证明:若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.

问题描述:

已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,证明:若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0.

先证原命题的逆否命题:
“若a+b≤0,则f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)”为真.
证:a+b≤0⇒a≤-b,b≤-a
⇒f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a)
⇒f(a)+f(b)≤f(-b)+f(-a).
故原命题:若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0也为真.
答案解析:本题考查的知识点是四种间的逆否关系及四种命题,由已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,我们可以先判断原命题的真假,然后根据互为逆否命题的真假性相同,我们也可以得到其逆否命题真假;然后再证明其否命题的真假,再根据其否命题与其逆命题也互为逆否命题,真假性也相同,即可得到其逆命题的真假.
考试点:函数单调性的性质.
知识点:本小题主要考查函数单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.