求和:Sn=1+(1+a)+(1+a+a^2)+.+(1+a+a^2.+a^n)如何求这个数列的和?

当a=0时,Sn=n+1.
当a=1时,Sn=1+2+....+(n+1)=(n+1)(n+2)/2.
当a不等于0或1时
Sn=1+(1+a)+(1+a+a^2)+...............+(1+a+a^2.......+a^n)
=(1-a)/(1-a)+(1-a^2)/(1-a)+(1-a^3)/(1-a)+.....+[1-a^(n+1)/(1-a)]
={n+1-[a+a^2+...+a^(n+1)]}/(1-a)
=(n+1)/(1-a)-[a-a^(n+2)]/(1-a)^2

由于每一项都是一个等比数列
1+(1+a)+(1+a+a^2)+...............+(1+a+a^2.......+a^n)
= 1+(a^2-1)/(a-1)+(a^3-1)/(a-1)+...............+[a^(n+1)-1]/(a-1)
=(a-1)/(a-1)+(a^2-1)/(a-1)+(a^3-1)/(a-1)+...............+[a^(n+1)-1]/(a-1)
=[a-1+a^2-1+a^3-1+...............+a^(n+1)-1]/(a-1)
=[a+a^2+a^3+...............+a^(n+1)-n]/(a-1)
=[a^(n+1)-(1+n)a+n]/(a-1)^2

Sn*(1-a)=(1-a)+(1-a^2)+(1-a^3)+.+(1-a^(n+1))
Sn*(1-a)=(n+1)-(a+a^2+...+a^(n+1))
之后就不用教了吧
关键是第一步,两边同时乘以（1-a)

Sn=1+(1+a)+(1+a+a^2)+...............+(1+a+a^2.......+a^n)
=(1-a)/(1-a)+(1-a^2)/(1-a)+(1-a^3)/(1-a)+.....+[1-a^(n+1)/(1-a)]
=[1-a+1-a^2+1-a^3+......+1-a^(n+1)]/(1-a)
={n+1-a[1-a^(n+1)]/(1-a)}/(1-a)