设α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根,求α的平方+β的平方的最小值

因为方程有2个根，所以判别式=（2m+1）²-4（m²+1）=4m²+4m+1-4m²-4=4m-3≥0
所以m≥3/4
由题意得
α+β=2m+1，αβ=m²+1
α的平方+β的平方=（α+β）²-2αβ=（2m+1）²-2（m²+1）=4m²+4m+1-2m²-2=2m²+4m-1
=2m²+4m+2-3=2（m²+2m+1）-3=2（m+1）²-3
函数开口向上，对称轴m=-1
所以在m=3/4时取到最小值
α的平方+β的平方的最小值=2（3/4+1）²-3=25/8

因为α与β是方程的两根，所以满足两方程，于是有α^2-(2m+1)α+m^2+1=0 ①,β^2-(2m+1)β+m^2+1=0 ②; ①+②=(α^2+β^2)-(2m+1)(α+β)+2(m^2+1)=0 ③,由韦达定理得α+β=2m+1 αβ=m^2+1 ④;将④代入③得3m^2+2m=0 解得m=0或者m=-2/3
所以α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ 当m=0时α^2+β^2=-1 当m=-2/3时 α^2+β^2=-25/9
综上，α^2+β^2的最小值为-25/9

α的平方+β的平方=4m²+4m-1 m＞＝-2/3 原式＝-17/9

m=-1 α的平方+β的平方的最小值=-3

判别式≥0
(2m+1)^2 - 4(m^2+1) ≥0
4m-3≥0
m≥3/4
α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根
根据韦达定理：
α+β = 2m+1
αβ = m^2+1
α^2+β^2 = (α+β)^2-2αβ = (2m+1)^2 - 2(m^2+1) = 2m^2+4m-1=2(m+1)^2-3
当m＞-1时,α^2+β^2 = 2(m+1)^2-3单调增
m≥3/4
∴α^2+β^2最小值 = 2(3/4+1)^2-3 = 2*(7/4)^2-3 = 25/8

α+β=2m+1
αβ=m^2+1
α的平方+β的平方=(α+β)^2-2αβ=4m^2+4m+1-2m^2-2=2m^2-4m=2(m+1)^2-3
因为有两个跟 所以Δ=（2m+1）^2-4m^2-4=4m-3>0 得m的范围为m>=3/4
所以α的平方+β的平方=(α+β)^2-2αβ=2m^2-4m>=25/8
即最小值为25/8