如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.(Ⅰ)求证:AD∥EC;(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
问题描述:
如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(Ⅰ)求证:AD∥EC;
(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
答
(I)证明:连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.(II)∵PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,∴PA2=PB•PD,∴62=PB•(PB+9)∴PB=3,在⊙O2中由相交弦定理,得PA•PC=BP•...
答案解析:(I)连接AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线平行即可;
(II)根据切割线定理得到PA2=PB•PD,求出PB的长,然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE,求出PE,再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•(PB+PE),代入求出即可.
考试点:圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有关的比例线段.
知识点:此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题.本题的突破点是辅助线的连接.