已知函数f(x)＝lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝lnx+
+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．1 x
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
答
（1）a=0时，f′(x)＝
…..（2分）x−1 x2
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)＝
−1 x
+a＝1 x2
ax2+x−1 x2
当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax2+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或
，解得：a≤−
1+4a＞0 g(2)≤0 −
≤21 2a
1 4
∴a的取值范围是(−∞，−
]∪[0，+∞)…（14分）1 4
答案解析：（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；
（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax2+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
考试点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
知识点：本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．