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数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ） 求c的值；（Ⅱ）求{an} 的通项公式；（Ⅲ）证明数列{an−cn}是等差数列．

分类: 作业答案 • 2022-01-03 16:14:53
问题描述：

数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{an} 的通项公式；
（Ⅲ）证明数列{

an−c
n
}是等差数列．

答

（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=（n-1）c，
所以an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)
2
c．
又a1=2，c=2，故an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn＝
an−c
n
＝n−1；bn+1=n．bn+1-bn=1，
∴数列{
an−c
n
}是等差数列．（5分）
答案解析：（Ⅰ）先利用递推关系式求出a1，a2，a3关于c的表达式，再结合a1，a2，a3成等比数列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用递推关系式求出an-an-1=（n-1）c，再利用叠加法得an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝
n(n−1)
2
c；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式；
（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列{
an−c
n
}的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．
考试点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．
知识点：本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．

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