33.14、已知P是抛物线y∧2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3) ∧2+y∧2=1的切线,切点分别为M、N,...33.14、已知P是抛物线y∧2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3) ∧2+y∧2=1的切线,切点分别为M、N,则IMNI的最小值是__________.4√5/5

做出草图，知当P点距圆越近 |MN|的值越小
令P（a,b)由y^2=2x得b^2=2a
圆（x-3)^2+y^2=1 ,圆心为C(3,0) ,半径为r=1
|PC|=√[（3-a)^2+(-b)^2]
=√(a^2-4a+9)
=√[(a-2)^2+5]
所以当a=2时 |PC|有最小值√5
所以P(2,2)或P（2，-2）因为图像关于x轴对称所以两个坐标任取一个就可
求f(x)=(x-3) ∧2+y∧2的导数
再根据p点坐标求出切点坐标
就可以求出 |MN|

设抛物线y^2=2x上的动点为P(a、b）,则b^2=2a
圆（x-3)^2+y^2=1 ,圆心为C(3,0) ,半径为r=1
连接PC交MN于点E
将圆的方程变为：x^2+y^2-6x+8=0
则点P到圆C的切线长为|PM|=|PN|=√(a^2+b^2-6a+8)
=√(a^2+2a-6a+8)
=√(a^2-4a+8)
|PC|^2=|pm|^2+|CM|^2=a^2-4a+8+1=a^2-4a+9
由平面射影定理知:|CM|^2=|PC|×|CE|
即1^2=[ √(a^2-4a+9)]×|CE|
∴|CE|^2=1/(a^2-4a+9)
|ME|^2=|CM|^2-|CE|^2=1-1/( a^2-4a+9) (a≥0)
∵a^2-4a+9=(a-2)^2+5≥5
∴|ME|^2 ≥4/5
∴|ME|≥2/√5
|MN|=2|ME|≥(4√5)/5
|MN|的最小值是（4√5）/5