如图.等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P为BC的中点,小明拿着含45°角的透明三角形,使45°角的顶点落在点P,且绕P旋转.(1)如图①:当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时,试说明△BPE∽△CFP.(2)将三角板绕点P旋转到图②,三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF.探究1:△BPE与△CFP.还相似吗?(只需写结论)探究2:连接EF,△BPE与△EFP是否相似?请说明理由.

问题描述:

如图.等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P为BC的中点,小明拿着含45°角的透明三角形,使45°角的顶点落在点P,且绕P旋转.

(1)如图①:当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时,试说明△BPE∽△CFP.
(2)将三角板绕点P旋转到图②,三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF.
探究1:△BPE与△CFP.还相似吗?(只需写结论)
探究2:连接EF,△BPE与△EFP是否相似?请说明理由.

(1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,
∴∠BPE+∠BEP=135°,
∵∠EPF=45°,
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=135°,
∴∠BEP=∠CPF,
又∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似).
(2)探究1:△BPE与△CFP还相似,
探究2:证明:连接EF,△BPE与△CFP相似,
∵△BPE∽△CFP,

BE
CP
PE
FP

又∵CP=BP,
BE
BP
PE
FP

BE
PE
BP
FP

又∵∠B=∠EPF,
∴△BPE∽△EFP.
答案解析:(1)找出△BOE与△CFO的对应角,其中∠BPE+∠CPF=135°,∠CPF+∠CFP=135°,得出∠BPE=∠CFP,从而解决问题;
(2)探究1:△BPE与△CFP还相似,证明思路同(1);究2:连接EF,△BPE与△EFP相似,根据有一夹角相等和夹边的比值相等的两个三角形相似证明即可.
考试点:相似三角形的判定;等腰直角三角形.
知识点:此题主要考查了相似三角形的判定.它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景,既考查了学生图形旋转变换的思想,静中思动,动中求静的思维方法,又考查了学生动手实践、自主探究的能力.