几何证明题 （a2+b2+c2=ab+bc+ca)已知a、b、c是三角形ABC的三条边,并且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca ,那么三角形ABC是什么三角形?证明之.
问题描述：
几何证明题 （a2+b2+c2=ab+bc+ca)
已知a、b、c是三角形ABC的三条边,并且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca ,那么三角形ABC是什么三角形?证明之.
答
楼上的几位兄弟回答的都正确！
答
a^2+b^2+c^2=1/2*(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)>=1/2*(2ab+2ac+2bc)=ab+ac+bc
当且仅当a=b=c时,等号成立.
所以由a2+b2+c2=ab+bc+ca 可知a=b=c
所以为等边三角形.
答
等边三角形
因为a2+b2+c2=ab+bc+ca
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
答
a2+b2 >= 2ab
b2+c2 >= 2bc
c2+a2 >= 2ac
相加即得
a2+b2+c2 >= ab+bc+ac
当且仅当 a=b=c 时取等号.
所以这个三角形是正三角形.