已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
问题描述：
已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
答
证明：
∵当x>0时，f''(x)=1/x>0，
∴f(x)在(0,＋∞）上是凹函数
1）当a≠b时， 不妨设a[f(a)＋f(b)]/2 >f[(a+b)/2]
即
[alna+blnb]/2>[(a+b)/2 ]×ln[(a+b)/2]，整理得：
alna+blnb>(a+b)ln[(a+b)/2]=(a+b)ln(a+b)-(a+b)ln2
即f(a)+f(b)>f(a+b)-(a+b)ln2
2）当a＝b时，
f(a)+f(b)=2f(a)=2alna
f(a+b)-(a+b)ln2=f(2a)-2aln2=2aln(2a)-2aln2=2aln(2a/2)=2alna
故f(a)+f(b)=f(a+b)-(a+b)ln2
于是由1）2）可得：
f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
证毕
答
f(a+b)-(a+b)ln2=2f[(a+b)/2]
f(x)'=lnx+1
f(x)''=1/x
由题意得x>0
∴f(x)''>0
∴f(x)是下凸函数
根据中值定理,下凸函数[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
∴f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
得证