已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点,满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等的实数根1.求该二次函数的解析式2.求上述二次函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值

（1）由题可知，，1为f(x)的对称轴
∴(-b)/2a=1 ∴b=-2a ∴f(x)=ax^2-2a2x
又∵方程f（x）=x有两个相等的实数根且f=-1/(0)=0
∴直线与抛物线的交点为原点
对二次函数求导得f'(x)=2ax-2a，直线的导数为y=1
∴f'(0)=-2a=1 ∴a=-1/2
∴f(x)=(-1/2)x^2+x
（2）由（1）可知，函数在[-1,1]上递增，在[1.2]上递减
∴f(2)=0 f(-1)=-2/3 f(1)=1/2
∴f(X)在区间[-1,2]上的最大值为f(1)=1/2，最小值为f(-1)=-2/3

1、过原点说明f（0）=0也就是说c=0原解析式变为f(x)=ax²+bx
f（1+x）=f（1-x）代入得a（1+x）²+b（1+x）=a（1-x）²+b（1-x）化简得到2a+b=0①
f（x）=x有两个相等的实数根得到ax²+bx=x化简下得到ax²+（b-1）x=0有两个相等的实根则△=0
（b-1）²=0②
由①②解得a=－1/2 b=1解析式为f(x)=－1/2x²+x
2、f(x)的对称轴为x=1 且开口向下 则在区间[-1,1]为增函数、[1,2]为减函数所以f(-1)=-3/2为最小值、f(1)=1/2为最大值

∵f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点
∴0 = 0+0+c,∴c=0
∴f(x)=ax2+bx
∵f（1+x）=f（1-x）
∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x),∴4ax-2bx=0,∴b=-2a
∴f(x)=ax^2-2ax
∵f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax^2-2ax=x,∴ax^2-(2a+1)x = 0,∴ax{x-(2a+1)/a}=0
x1=0,x2=(2a+1)/a=0
∴2a+1=0
a = -1/2
∴f(x) = -1/2x^2+x
f(x)开口向上,对称轴x=-1/(2*(-1/2)) = 1
在区间[-1,2],极大值就是最大值：
∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2
∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远
∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2

1、
f(1+x)=f(1-x)
则对称轴为x=[（1+x）+（1-x）]/2=1
所以
-b/2a=1 ①
函数经过点（0,0）
则
f（0）=c=0 ②
f（x）=x有两个相等实根
即ax²+（b-1）x+c=0有两个相等实根
所以
△=（b-1）²-4ac=0 ③
联立①②③解得
a=-1/2
b=1
c=0
所以
f（x）=-1/2 x²+x
2、
f（x）对称轴x=1包含于[-1,2],且a所以
f（x）在x=1处取得最大值f（1）=1/2
f（-1）=-3/2
f（2）=0
所以
f（x）在[-1,2]上最小值为f（-1）=-3/2
最大值为f（1）=1/2