如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD；（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
问题描述：
如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD；
（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
答
（1）证明：∵PC是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠OCD=90°，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠CDO，AD=DC，
∴DO⊥AC，
∴PA∥OD，
∴∠P=∠DOC，
∴△APC∽△COD．
（2）由△APC∽△COD，得：
＝AP PC
OC OD
∴
＝x 2
，1 y
∴y＝
．2 x
（3）若△ACD是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，
∵OD=2OC，
∴y=2，
∴x=1．
当x=1时，△ACD是一个等边三角形．
答案解析：（1）由题可知，DA、DC是由D点向圆引的两条切线，有切线的性质可知，DO垂直平分AC，又∠PAC为直径所对的圆周角为90°，所以PA和AC垂直，因此PA和OD平行，可得同位角相等即∠P=∠DOC，又∠PAC=∠DCO=90°，所以可得相似．
（2）由（1）知相似，可得对应线段成比例，利用此性质得
＝AP PC
，可求出y与x之间的关系式．OC OD
（3）若△ACD是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，于是OD=2OC，由（2）可得出x的值为1．
考试点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列反比例函数关系式；等边三角形的判定；切线的性质．
知识点：此题考查了相似三角形的判定以及切线长定理，难易程度适中．