已知方程(a-x)(a-x)-4(b-x)(c-x)=0.求证：此方程必有实数根?(2).若a,b,c为三角形ABC三边，方程有两个相等的实数根，则三角形ABC为等边三角形？

利用
费马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。
两边等后变形很容易的。

首先将式子展开得到－3X^2 (4b 4c-2a)x a^2-4bc=0
然后求判别式b^2-4ac=16(a^2 b^2 c^2-ab-ac-bc)
(a-b)(a-b)>=0得到式子一a^2 b^2>=2ab
(a-c)(a-c)>=0得式子二a^2 c^2>=2ac
(b-c)(b-c)>=0得式子三b^2 c^2>=2bc
三个式子相加得到a^2 b^2 c^2>=ab bc ac
所以判别式大于等于零
所以有实数根

1.化简3x²-2(a-2b-2c)x-(a²-4bc)=0
△=4(a-2b-2c)²+12(a²-4bc)=16(a²+b²+c²-ab-bc-bc)=8[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0恒成立，即得证。
2.由题意，令△=0，a-b=b-c=c-a=0,所以a=b=c，故为等边三角形

整理方程得：3²+2(a-2b-2c)x-(a²-4bc)=0
∵ △/4=(a-2b-2c)²+3(a²-4bc)=2(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca)=2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0
∴ 已知方程必有实数根

可化为3x^2-2(a-2b-2c)x-(a^2-4bc)=0
判别式
△=4(a-2b-2c)^2+12(a^2-4bc)
=4a^2+16b^2+16c^2-16ab-16ac+32bc+12a^2-48bc
=16(a^2+b^2+c^2-ab-bc-bc)
=8[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
可见,至少有一个实根

证：原式即：-3x&sup2+(4b+4c-2a)x+a&sup2-4bc=0
△=(4b+4c-2a)&sup2+12*(a&sup2-4bc)
=4[(a&sup2+4b&sup2+4c&sup2-4ab+8bc-4ac)+3a&sup2-12bc]
=8[(a-b)&sup2+(b-c)&sup2+(c-a)&sup2]
≥0
∴此方程必有实数根