取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图1;第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为Bn,得Rt△ABE,如图2;第三步:沿EB线折叠得折痕EF,如图3;利用展开图4探究:(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.

问题描述:

取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图1;
第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为Bn,得Rt△ABE,如图2;
第三步:沿EB线折叠得折痕EF,如图3;
利用展开图4探究:

(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.

(1)△AEF是等边三角形.
证明:∵△ABE与△AB′E完全重合,
∴△ABE≌△AB′E,∠BAE=∠1,
由平行线等分线段定理知EB′=B′F,
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F,
∴AE=AF,∠1=∠2=

1
3
∠BAD=30°,
∴△AEF是等边三角形.
(2)不一定.
由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时,即矩形的宽:长=AB:AF=sin60°=
3
:2
时正好能折出.
设矩形的长为a,宽为b,可知
当b≤
3
2
a时,按此法一定能折出等边三角形;
3
2
a<b<a时,按此法无法折出完整的等边三角形.
答案解析:(1)应该是等边三角形.先证明△ABE≌△AB′E,得出∠AB'E=90°,∠A=∠BAE,然后证明△AB′E≌△AB′F,得出AE=AF,∠B'AE=∠B'AF,从而可确定∠EAF=60°,继而得出△AEF是等边三角形.
(2)根据(1)我们可看出,要想折出等边三角形,AD≥AF,我们看当AD=AF时,矩形的长和宽的比例是多少,AF:AB=sin60°=2:
3
,那么要想折出等边三角形,那么矩形的宽就必须小于长的
3
2

考试点:翻折变换(折叠问题);等边三角形的判定;矩形的性质.

知识点:本题主要考查了折叠的性质以及等边三角形的判定,根据折叠的性质得出相关的边和角相等是解题的关键.