已知函数f（x）=1/2cos^2-√3sinxcosx-1/2sin^2x+1 x∈R（1）求f（x）的最小正周期以及在区间【0,π/2】上的最大值和最小值（2）若f（x1）=9/5,x1∈[-π/6,π/6],求cos2x的值
问题描述：
已知函数f（x）=1/2cos^2-√3sinxcosx-1/2sin^2x+1 x∈R
（1）求f（x）的最小正周期以及在区间【0,π/2】上的最大值和最小值
（2）若f（x1）=9/5,x1∈[-π/6,π/6],求cos2x的值
答
(1)f(x)=(1/2)(cos^2x-sin^2x)-(√3/2)(2sinxcosx)+1
=1/2cos2x-(√3/2)*sin2x+1
=cos(2x+π/3)+1
最小正周期为π，区间上最大值3/2，最小值1/2。
(2)cos(2x1+π/3)+1=9/5 x1∈[-π/6,π/6]
则 (2x1+π/3)∈[0,2π/3]
所以： cos(2x1+π/3)=4/5 sin(2x1+π/3)=3/5
故： cos2x1=cos(2x1+π/3-π/3)=1/2*4/5+√3/2*3/5=(4+3√3)/10
答
(1)f(x)=(1/2)(cos^2x-sin^2x)-(√3/2)(2sinxcosx)+1
=1/2cos2x-(√3/2)*sin2x+1
=cos(2x+π/3)+1
最小正周期为π,区间上最大值3/2,最小值1/2.
(2)cos(2x1+π/3)+1=9/5 x1∈[-π/6,π/6]
则 (2x1+π/3)∈[0,2π/3]
所以： cos(2x1+π/3)=4/5 sin(2x1+π/3)=3/5
故： cos2x1=cos(2x1+π/3-π/3)=1/2*4/5+√3/2*3/5=(4+3√3)/10