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若不等式1n+1+1n+2+…+12n＞m72对于大于1的一切正整数n都成立，则正整数m的最大值为（　　） A.43 B.42 C.41 D.40

分类: 作业答案 • 2021-12-02 11:02:42

问题描述：

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

m

72

对于大于1的一切正整数n都成立，则正整数m的最大值为（　　）
A. 43
B. 42
C. 41
D. 40

答

n=2时，

1

3

+

1

4

＞

m

72

，∴m＜42．
而m是正整数，所以取m=42．
下面用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
（1）当n=2时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

41

72

．
则当n=k+1时，有

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

+

1

2k+1

+

1

2k+2

−

1

k+1

因为

1

2k+1

+

1

2k+2

−

1

k+1

＞0，
所以

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

．
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
故选C．