已知函数f(x)=12x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数.(1)求实数a的取值范围;(2)设g(x)=e2x-2ex+a x∈[0,ln3],求函数g(x)的最小值.
问题描述:
已知函数f(x)=
x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数.1 2
(1)求实数a的取值范围;
(2)设g(x)=e2x-2ex+a x∈[0,ln3],求函数g(x)的最小值.
答
(1)求导函数,可得f′(x)=x+1x+a−4∵函数f(x)=12x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数∴x+1x+a−4≥0在(1,+∞)上恒成立∴a≥4−(x+1x)恒成立∵x+1x≥2(当且仅当x=1时,等号成立)∴4−(x+1x)<2∴...
答案解析:(1)求导函数,根据函数f(x)=
x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数,可得x+1 2
+a−4≥0在(1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式,即可确定实数a的取值范围;1 x
(2)设t=ex,则g(t)=t2-2a+a=(t-a)2+a-a2,1≤t≤3,再分类讨论:①2≤a≤3;②a≥3,即可得到结论.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查二次函数最值的研究,分离参数,利用配方法求二次函数的最值时关键.