对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______.(不必证明)(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

问题描述:

对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______.(不必证明)
(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于

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的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

(1)如:y=12x2+12x,y=−12x2−12x等等(只要写出一个符合条件的函数解析式)(2)假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线y=ax2+bx+c当x=0时y=c,当x=1时y=a+b+c,由整点抛物线定义知:c为整数,a+b+c为整数,...
答案解析:(1)a和b要么同时为整数,要么同时是分母为2的分数;
(2)利用反证法证明.假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线y=ax2+bx+c.①当x=0时y=c,当x=1时y=a+b+c,由整点抛物线定义推知a+b必为整数;②当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数,所以a应为

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的整数倍;综合①②即可得到答案.
考试点:二次函数图象上点的坐标特征.
知识点:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.二次函数图象上的点都在该函数的图象上.