对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2). (1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的

问题描述:

对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______.(不必证明)
(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于

1
2
的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

(1)如:y=

1
2
x2+
1
2
x,y=−
1
2
x2
1
2
x
等等
(只要写出一个符合条件的函数解析式)
(2)假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线y=ax2+bx+c
当x=0时y=c,当x=1时y=a+b+c,
由整点抛物线定义知:c为整数,a+b+c为整数,
∴a+b必为整数.
又当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数,
∴2a必为整数,从而a应为
1
2
的整数倍,
∴|a|≥
1
2

∴不存在二次项系数的绝对值小于
1
2
的整点抛物线.