已知函数f(x)＝mx2+m−22x (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，（1）求m取值范围；（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤2n3+3n2−5n12（n∈N*）．
问题描述：
已知函数f(x)＝
+mx 2
(m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，m−2 2x
（1）求m取值范围；
（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤
（n∈N*）． 2n3+3n2−5n 12
答
知识点：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，正确求导，合理取值是关键．
（1）由题意，令g(x)＝lnx−mx2−m−22x+m−1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立 g′(x)＝1x−m2+m−22x2＝−(x−1)(mx+m−2)2x2…4分当−1＜2m−1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．...
答案解析：（1）由题意，令g(x)＝lnx−
−mx 2
+m−1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性与最值，即可确定m取值范围；m−2 2x
（2）取m=1，则lnx≤
(x−1 2
)，令x=n，可得nlnn≤1 x
，累加并化简可得结论．
n2−1 2
考试点：综合法与分析法(选修）．
知识点：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，正确求导，合理取值是关键．