已知函数f （x）=2x2+x-k，g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，g（x）取得极值-2．（1）求函数g（x）的单调区间和极大值；（2）若对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数k的取值范围；（3）若对任意x1∈[-1，3]，x2∈[-1，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围．
问题描述：
已知函数f （x）=2x2+x-k，g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，g（x）取得极值-2．
（1）求函数g（x）的单调区间和极大值；
（2）若对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数k的取值范围；
（3）若对任意x1∈[-1，3]，x2∈[-1，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围．
答
（1）∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，∴g（-x）=g（x），可得b=d=0，即g（x）=ax3+cx（a≠0），又当x=1时，g（x）取得极值-2，∴g′(1)=0g(1)=-2，即3a+c=0a+c=-2，解得a=1c=-3，故函数g（x）=x3-3x，...
答案解析：（1）由奇函数可得b=d=0，代入可得函数g（x）的解析式，由导数的正负易得单调区间，进而得极值；
（2）对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，只需k≥2x2+4x-x3，构造函数F（x）=2x2+4x-x3，x∈[-1，3]，由导数法可得函数的最大值，可得答案；
（3）对任意x1∈[-1，3]，x2∈[-1，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即f（x）在区间[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，只需求其最小值即可．
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
知识点：本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．