P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,向量AB=（2,-1,-4),向量AD=(4,2,0）,向量AP=( -1,2,-1)(1)求证：PA⊥平面ABCD(2)求Vp-ABCD
问题描述：
P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,向量AB=（2,-1,-4),向量AD=(4,2,0）,向量AP=( -1,2,-1)
(1)求证：PA⊥平面ABCD
(2)求Vp-ABCD
答
1、因为 AP*AB=(-1)*2+2*(-1)+(-1)*(-4)=0 ,AP*AD=4*(-1)+2*2+0*(-1)=0 ,
因此 AP丄AB ,且 AP丄AD ,
而 AB、AD 交于 A ,
所以,AP丄平面ABCD .
2、因为 AB×AD=（0*(-1)-2*(-4),-(2*0+4*4),2*2-4*(-1)）=（8,-16,8）,
所以 SABCD=|AB×AD|=√[8^2+(-16)^2+8^2]=8√6 ,
而 |AP|=√(1+4+1)=√6 ,
所以 VP-ABCD=1/3*SABCD*|AP|=16 .