质点沿X轴运动,加速度随速度变化的关系为a=-kv,式中k为常数.当t=0时,x=x0,v=v0,求任意时刻质点的速度和位置?
问题描述：
质点沿X轴运动,加速度随速度变化的关系为a=-kv,式中k为常数.当t=0时,x=x0,v=v0,求任意时刻质点的速度和位置?
答
根据速度的微分方程dv/dt=-kv 可以求出 v=A*exp(-kt)，其中A为待定系数，exp()为e指数函数。
根据t=0时，v=v0，得到A=v0。所以任意时刻速度为v(t)=v0*exp(-kt)。
进而求得任意时刻质点的位置为x(t)=x0+v0*exp(-kt)*t。
答
a = dv/dt = -kv → dv = a dt = -kv dt分离变量 dv/v = -k dt 两边积分 ∫ (v0→ v)dv/v = ∫ (0→ t) -k dt ln(v/v0) = -kt → v = v0*exp(-k*t)v = dx/dt = v0*exp(-k*t) → dx = v0*exp(-k*t) dt两边积分 ∫ (x0...