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若原点到直线bx+ay=ab的距离等于13a2+b2+1，则双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为（　　）A. 2B. 3C. 5D. 6

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:39:21
问题描述：

若原点到直线bx+ay=ab的距离等于

1
3
 a2+b2
+1，则双曲线
x2
a2
−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6

答

∵c2=a2+b2
∴原点到直线bx+ay=ab的距离等于

c
3
+1
依题意可知
ab
 a2+b2
=-
ab
c
=
c
3
+1
∴-ab=
1
3
c2+c
∵-ab≤
a2+b2
2
=
c2
2

∴
1
3
c2+c≤
c2
2
，解得c≥6或c≤0（舍去）
∴双曲线
x2
a2
−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为6．
故选D．
答案解析：先根据点到直线的距离求得知知
ab
 a2+b2
=-
ab
c
=
c
3
+1，进而根据均值不等式的性质求得-ab≤
a2+b2
2
=
c2
2
求得c的范围．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得a，b和c的关系．

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