设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b2）．
问题描述：
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：
f（x）dx≤（b-a）f（
∫
b
a
）． a+b 2
答
证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
(x−t)2．f″(ξ) 2!
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
，则有a+b 2
f(x)≤f(
)+f′(a+b 2
)(x−a+b 2
)．a+b 2
将不等式两边从a到b积分可得，
f(x)dx≤
∫
b
a
f(
∫
b
a
)dx+a+b 2
f′(
∫
b
a
)(x−a+b 2
)dxa+b 2
=(b−a)f(
)+f′(a+b 2
)[a+b 2
(x−1 2
)2]a+b 2
|
b
a
=(b−a)f(
)．a+b 2
答案解析：将f（x）在
处利用带有拉格朗日型余项的泰勒公式进行展开，再利用定积分的性质即可进行证明．a+b 2
考试点：定积分的几何意义；利用泰勒公式进行证明；定积分的基本性质．
知识点：在利用泰勒公式进行不等式的证明时，需要利用带有拉格朗日型余项的泰勒公式将函数展开；利用已知条件中f的n阶导数的符号，可以做适当的放缩．