已知二次函数图象的对称轴为直线x=2,经过两点(0,3)和(-1,8),并与x轴的交点为B、C(点C在点B左边),其顶点为点P.(1)求此二次函数的解析式;(2)如果直线y=x向上或向下平移经过点P,求证:平移后的直线一定经过点B;(3)在(2)的条件下,能否在直线y=x上找一点D,使四边形OPBD是等腰梯形?若能,请求出点D的坐标;若不能,请简要说明你的理由.

问题描述:

已知二次函数图象的对称轴为直线x=2,经过两点(0,3)和(-1,8),并与x轴的交点为B、C(点C在点B左边),其顶点为点P.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)如果直线y=x向上或向下平移经过点P,求证:平移后的直线一定经过点B;
(3)在(2)的条件下,能否在直线y=x上找一点D,使四边形OPBD是等腰梯形?若能,请求出点D的坐标;若不能,请简要说明你的理由.

(1)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+m,
∵抛物线经过点(0,3)和(-1,8),

3=4a+m 
8=9a+m .

解得
a=1 
m=−1 .

∴二次函数的解析式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3;
(2)抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点为B(3,0)、C(1,0),
顶点为P(2,-1).
由题意,设平移后直线为y=x+b,
由已知,-1=2+b,
解得b=-3.
∴直线y=x平移后经过点P的直线为y=x-3,
当x=3时,y=0.
∴直线y=x-3经过点B(3,0);
(3)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点P作PN⊥x轴于点N.
在Rt△ONP中,OP2=ON2+PN2=5.
∵点D在直线y=x上,
∴设点D的坐标为(x,x).
在Rt△BDM中,BD2=BM2+DM2=(3-x)2+x2
由OP2=BD2得,
(3-x)2+x2=5,
解得x1=2,x2=1.
当x=1时,四边形OPBD为平行四边形,舍去.
∴x=2.
∴点D的坐标为(2,2).
答案解析:(1)先根据二次函数图象的对称轴为直线x=2,设出解析式,再根据抛物线经过点(0,3)和(-1,8),求出自变量,即可得到二次函数的解析式;
(2)求出平移后经过P点直线的解析式,而B点坐标已知,代入解析式正好符合,可证平移后的直线一定经过点B;
(3)在四边形OPBD是等腰梯形且D在y=x这条直线上时,作如图所示辅助线,用勾股定理求出D点坐标.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题主要考查二次函数的综合运用,其中涉及二次函数对称轴、解析式求法、一次函数及勾股定理的运用.