已知a不等于c,三个数a,1,c成等差数列,三个数a^2,1,c^2成等比数列,求a+c/a^2+c^2

a-1=1-c a+c=2 a=2-c
a^2:1=1:c^2 a^2*c^2=1 ac=±1
若a c=1，(2-c)*c=1 c^2-2c +1=0 得c=1 a=1不符合题意
若a c=-1，(2-c)*c=-1 c^2-2c-1=0 得c=1±√2
c=1+√2时a=1-√2
c=1-√2时a=1+√2
a^2+c^2=1+2√2+2+1-2√2+2=6
a+c/（a^2+c^2）=2/6=1/3

简单
设c>a
有题目得知
a^2:1=1:c^2
可以得到a=1/c
或者a=-1/c
又a,1,c成等差数列
所以1-a=c-1
（1）得到1-1/c=c-1
c=1(不成立)
（2）得到1+1/c=c-1
c=+-根号2+1
又c>a
c=根号2+1
则原式=1/c+c^3+c^2
=7根号2+7

三个数a,1,c成等差数列
则a+c=2 (1)
三个数a^2,1,c^2成等比数列
则a²*c²=1²
所以ac=±1
[1] 当ac=-1时
(1)²得 a²+2ac+c²=4 a²+c²=6
所以(a+c)/(a²+c²)=2/6=1/3
[2] 当ac=1时
(1)²得 a²+2ac+c²=4 a²+c²=2
所以(a+c)/(a²+c²)=2/2=1

a+c=2
a^2*c^2=1
ac=±1
ac是方程X^2-2X±1=0的根
因为a不等于c，所以ac是方程X^2-2X-1=0的根
ac=-1
a+c/a^2+c^2=a+c/（a+c）^2-2ac=2/4+2=1/3