求数列{n!/n^n}的极限可不可以用夹挤定理来求啊?0 扫码下载作业帮拍照答疑一拍即得
问题描述：
求数列{n!/n^n}的极限
可不可以用夹挤定理来求啊?
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答
不能，这个问题涉及到n!的解析拖延，也就是伽马函数，详细的计算可以搜索斯特林公式和伽马函数。
答
不知道你知不知道Stirling公式：当n→+∞时，n!～√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)。这个可以是通过设bn=n!/[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)]，当n→+∞时，bn→√(2π)来证明的。可以参考《数学分析》。
所以，极限lim(n!/n^n)=lim[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)/n^n]=lim√(2πn)/e^n
这是∞/∞的形式，利用L'Hospital法则，对分子、分别分别求导，有
√(2πn)/e^n → √(2π)/[2√π*e^n]
而当n→+∞时，lim{√(2π)/[2√π*e^n]}=0
所以，lim(n!/n^n)=0
答
n!/n^n>0
n!/n^n≤[(1/n+2/n+...+n/n)/n]^n=(1+1/n)^n/2^n
上式用了均值不等式.
显然能用挤夹原理证明这个极限为0.
对n≥3时,n!/n^n