已知α∈[0，π4]，β∈[0，π4]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tanα2＝1−tan2α2，求α+β的值．
问题描述：
已知α∈[0，
]，β∈[0，π 4
]且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，4tanπ 4
＝1−tan2α 2
，求α+β的值． α 2
答
∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan
=1-tan2α 2
，α 2
∴
=2tan
α 2 1−tan2
α 2
，即tanα=1 2
，1 2
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，
]，β∈[0，π 4
]，π 4
∴α+β∈[0，
]，π 2
则α+β=
．π 4
答案解析：第一个等式中将sin（2α+β）变形为sin[（α+β）+α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二个等式变形后利用二倍角的正切函数公式化简，求出tanα的值，进而求出tan（α+β）的值，根据α与β的范围求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．
考试点：二倍角的余弦；半角的三角函数．
知识点：此题考查了二倍角的余弦函数公式，半角的三角函数，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．