答
（1）连接AO、BO、CO，
∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∴直线AO和直线BO分别是边BC和AC的垂直平分线，
∴∠OAP=∠OBQ=∠BAC=∠ABC=30°，
∵在△APO和△BQO中，，
∴△APO≌△BQO，（SAS）
∴∠APO=∠BQO，
∵∠BQO+∠AQO=180°，
∴∠APO+∠AQO=180°；
（2）连接AO、BO、CO，
∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴△OAB，△OAC是等边三角形，
∴∠QBO=120°，∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°，
∵在△PAO和△QBO中，，
∴△PAO≌△QBO，（SAS）
∴∠APO=∠AQO；
（3）连接OB、OC，
同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，
∵OA=OB，
∴AB=AO=BO，且∠OBD=∠OBA=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAQ=60°，∠PAO=120°，△APQ中，∠APQ=90°，∠AQP=30°，PA=AQ，
∵AP=BQ，
∴BQ=AQ，
∴AP=AB=AO，
∴∠AOP=30°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=OE，
∴RT△ODE中，DE=OE=BE，
∴BE=BD=CD=4．
