如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(-3,2),与x轴相交于点C(-2,0),过点C画CB⊥AC交y轴于点B,连结AB得△ABC(1)求抛物线的解析式;(2)求出点B的坐标;(提示:作抛物线的对称轴)(3)将△ABC沿x轴正方向平移后得到△A′B′C′,点A′、B′恰好落在双曲线上,求该双曲线的解析式和平移的距离.

问题描述:

如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(-3,2),与x轴相交于点C(-2,0),过点C画CB⊥AC交y轴于点B,连结AB得△ABC

(1)求抛物线的解析式;
(2)求出点B的坐标;(提示:作抛物线的对称轴)
(3)将△ABC沿x轴正方向平移后得到△A′B′C′,点A′、B′恰好落在双曲线上,求该双曲线的解析式和平移的距离.

(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)2+2,
将C(-2,0)代入得:a+2=0,即a=-2,
则抛物线解析式为y=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16;
(2)作出抛物线的对称轴,与x轴交于D点,可得AD⊥x轴,
∵A(-3,2),C(-2,0),
∴AD=OC=2,OD=3,CD=OD-OC=3-2=1,
∵CB⊥AC,
∴∠ACD+∠BCO=90°,
∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCO=∠CAD,
在△ACD和△BCO中,

∠ADC=∠COB=90°
AD=CO
∠CAD=∠BCO

∴△ACD≌△BCO(ASA),
∴OB=CD=1,
则B(0,1);
(3)作出直线AA′,BB′,A′D′⊥x轴,B′O′⊥x轴,OO′即为平移的距离,
根据题意设A′(m,2),B′(m+3,1),反比例解析式为y=
k
x
(k≠0),
将A′与B′代入得:2m=k,m+3=k,即2m=m+3,
解得:m=3,k=6,
∴反比例解析式为y=
6
x
,A′(3,2),B′(6,1),
∴OO′=6,即平移的距离为6.
答案解析:(1)根据顶点的坐标,设出抛物线的顶点坐标,将C坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;
(2)过A作AD垂直于x轴,得到一对角互余,根据AC与BC垂直,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,根据A与C的坐标,得到AD=OC,利用ASA得到三角形ACD与三角形BCO全等,利用全等三角形对应边相等得到OB=CD,根据OD-OC求出CD的长,确定出OB的长,即可求出B的坐标;
(3)作出直线AA′,BB′,A′D′⊥x轴,B′O′⊥x轴,OO′即为平移的距离,根据题意设A′(m,2),B′(m+3,1),反比例解析式为y=
k
x
(k≠0),将A′与B′代入反比例解析式中,求出m与k的值,即可确定出反比例解析式,以及OO′的距离,即为平移的距离.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,待定系数法求二次函数解析式,平移的性质,熟练掌握待定系数法是确定反比例解析式的关键.